| # | id | problem_markdown | solutions_markdown | images | country | competition | topics_flat | language | problem_type | final_answer |
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1
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0000
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Determinar todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales
$$
\frac{a^2 b + b}{ab^2 + 9}
$$
es un número entero.
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Number Theory > Divisibility / Factorization > Greatest common divisors (gcd)",
"Number Theory > Modular Arithmetic > Inverses mod n",
"Number Theory > Diophantine Equations > Techniques: modulo, size analysis, order analysis, inequalities"
]
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español
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proof and answer
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All pairs are (a, b) = (9 t^2, 9 t) for any positive integer t, together with the exceptional pairs (32, 1), (73, 1), and (22, 2).
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2
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0001
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Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos. Demostrar que
$$
\left(\frac{a}{b+c} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{b}{c+a} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{c}{a+b} + \frac{1}{2}\right) \ge 1
$$
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[]
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[]
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Algebra > Equations and Inequalities > Linear and quadratic inequalities",
"Algebra > Equations and Inequalities > Muirhead / majorization",
"Algebra > Algebraic Expressions > Polynomials > Symmetric functions"
]
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español
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proof only
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3
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0002
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Tenemos un tablero cuadrado de $2002 \times 2002$ con casillas pintadas de negro y blanco, como un tablero de ajedrez. Las filas han sido numeradas del $1$ al $2002$ y las columnas del $1$ al $2002$ (la casilla en la fila $1$ y la columna $1$ es negra). En cada casilla escribimos el producto del número de la fila por el número de la columna a las que la casilla pertenece. Sean $A$ la suma de los números escritos en las casillas negras y $B$ la suma de los números en las casillas blancas.
Demuestra que $A - B$ es un cuadrado perfecto.
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Algebra > Algebraic Expressions > Sequences and Series > Sums and products"
]
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español
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proof only
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4
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0003
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Los números enteros del $1$ al $2002$, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente $1$, $2$, $\ldots$, $2001$, $2002$. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k+1$.
En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k+1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?
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Argentina
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XVII Olimpíada Iberoamericana de Matemática
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[
"Discrete Mathematics > Algorithms",
"Algebra > Algebraic Expressions > Sequences and Series > Recurrence relations"
]
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español
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proof and answer
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1598
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5
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0004
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Sean $ABCD$ un rectángulo con $AB > BC$, y $O$ el punto de intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$. La bisectriz del ángulo $B\hat{A}C$ corta a $BD$ en $E$. Llamamos $M$ al punto medio de $AB$. Se traza por $E$ la perpendicular a $AB$, que corta a $AB$ en $F$; se traza por $E$ la perpendicular a $AE$, que corta a $AC$ en $H$. Si es dado que $OH = a$ y $MF = \frac{4}{3}a$, calcula el área del rectángulo $ABCD$ en términos de $a$.
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[]
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Geometry > Plane Geometry > Quadrilaterals > Cyclic quadrilaterals",
"Geometry > Plane Geometry > Analytic / Coordinate Methods > Cartesian coordinates",
"Geometry > Plane Geometry > Analytic / Coordinate Methods > Trigonometry",
"Geometry > Plane Geometry > Miscellaneous > Angle chasing"
]
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español
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proof and answer
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2704/75 · a^2
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6
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0005
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Problem:
Sea $A$ un subconjunto del conjunto $N$ de los números enteros positivos. Diremos que un subconjunto $B$ de $N$ es una base de $A$ si las sumas de los elementos de cada subconjunto no vacío de $B$ son distintas y cada elemento de $A$ es igual a una de estas sumas. Demostrar que para cada $n = 1, 2, 3, \ldots$ existe un $k(n)$ tal que cada subconjunto de $N$ con $n$ elementos tiene una base con a lo sumo $k(n)$ elementos, y determinar (para cada $n$) el valor mínimo de $k(n)$.
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[]
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Discrete Mathematics > Combinatorics > Induction / smoothing",
"Discrete Mathematics > Other",
"Number Theory > Other"
]
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español
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proof and answer
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k(n) = n
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7
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0006
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Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.
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[]
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Argentina
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XVII Olimpíada Iberoamericana de Matemática
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[
"Geometry > Plane Geometry > Combinatorial Geometry",
"Discrete Mathematics > Combinatorics > Counting two ways",
"Discrete Mathematics > Combinatorics > Invariants / monovariants"
]
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español
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proof only
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8
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0007
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Sea $\lambda$ un número real tal que la desigualdad $0 < \sqrt{2002} - \frac{a}{b} < \frac{\lambda}{ab}$ se verifica para infinitos pares $(a, b)$ de números enteros positivos. Demostrar que $\lambda \ge 5$.
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[]
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[]
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Number Theory > Diophantine Equations > Pell's equations",
"Number Theory > Diophantine Equations > Techniques: modulo, size analysis, order analysis, inequalities"
]
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español
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proof only
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9
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0008
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Sea $ABC$ un triángulo con $\hat{C} = 60^\circ$. El punto $P$ es el simétrico de $A$ respecto del punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$. Demostrar que si la mediatriz del segmento $CP$ corta a la recta que contiene a la bisectriz del ángulo $\hat{B}$ en el punto $Q$, entonces el triángulo $CPQ$ es equilátero.
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[]
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Geometry > Plane Geometry > Triangles > Triangle centers: centroid, incenter, circumcenter, orthocenter, Euler line, nine-point circle",
"Geometry > Plane Geometry > Circles > Tangents",
"Geometry > Plane Geometry > Transformations > Rotation",
"Geometry > Plane Geometry > Miscellaneous > Angle chasing"
]
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español
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proof only
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10
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0009
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Una pista para carreras de automóviles consiste de 6 circunferencias $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5$ y $\Gamma_6$, tangentes interiores en un punto $P$. Las longitudes de las circunferencias son 1 km, 2 km, 4 km, 8 km, 16 km y 32 km, respectivamente. Dos pilotos, $A$ y $B$, viajan a lo largo de la pista del siguiente modo: comenzando en el punto $P$, el piloto $A$ recorre $\Gamma_1$, cuando llega de nuevo a $P$ recorre $\Gamma_2$, luego recorre $\Gamma_3$, hasta que completa todo el recorrido de la pista y llega de nuevo a $P$. Allí comienza todo el recorrido nuevamente, una y otra vez. Viaja todo el tiempo a velocidad constante, y recorre cada una de las circunferencias en un mismo sentido. El piloto $B$ inicia su viaje algo más tarde que $A$, y recorre las circunferencias $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5$ y $\Gamma_6$ en el mismo orden que lo hace $A$, a la misma velocidad que $A$, pero lo hace siempre en el sentido contrario al de $A$.
Supongamos que $B$ conoce la hora a la que $A$ inició su recorrido. Decide si $B$ puede elegir la hora de inicio de su propio recorrido de modo tal que los dos automóviles no se crucen nunca en la pista.
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Argentina
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XI Olimpiada Matemática Rioplatense
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[
"Algebra > Algebraic Expressions > Sequences and Series > Sums and products",
"Algebra > Equations and Inequalities > Linear and quadratic inequalities",
"Number Theory > Other"
]
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español
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proof and answer
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No
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